参考资料
习题参考答案（github:pptacher probabilistic_robotics）
Notes
2.2 Basic Concepts in Probability
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假设所有随机变量都有概率密度函数（PDF，probability dendity function）
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一维正态分布的PDF（高斯函数）：
$ p(x)=(2\pi\sigma)^{-\frac{1}{2}} exp\lbrace-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\rbrace $
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多元正态分布的PDF：
$ p(x)=det(2\pi\Sigma)^{-\frac{1}{2}} exp\lbrace-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\rbrace $
其中，$\mu$是平均向量，$\Sigma$是一个半正定对称矩阵，协方差。$\Sigma=\sigma^2$时，和一元正态分布函数等价
正定矩阵的性质类似复数中的正实数
半正定矩阵，设A是n阶方阵或实对称矩阵，如果对任何非零向量X，都有$X^TAX\geq0$ ，就称A为半正定矩阵
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PDF的值不以1为上限
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贝叶斯定律：
$ p(x|y)=\frac{p(y|x)p(x)}{p(y)}=\eta\ p(y|x)p(x) $
其中$\eta$为归一化常数。如果要从y推出x，则称$p(x)$为先验分布，y为data，$p(x|y)$为后验分布
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期望：
$ E[X]=\sum_x x\ p(x) $
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协方差：
$ Cov[X]=E[X-E[X]]^2=E(X^2+E(X)^2-2XE(X))=E[X^2]-E[X]^2 $
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熵：假设x的概率为 $p(x)$，则编码x需要 $-log_2 p(x)$ 位字节
$ H_p(x)=E[-log_2 p(x)] $
2.3 Robot Environment Interaction
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A state $x_t$ will be called $complete$ if it is the best predictor of the futrue.
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belief（包含t时刻的测量）： $ bel(x_t)=p(x_t|z_{1:\ t},u_{1:\ t}) $
belief（不包含t时刻的测量）： $ \overline {bel}(x_t)=p(x_t|z_{1:\ t-1},u_{1:\ t}) $
2.4 Bayes Filters
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伪代码：$u_t$是控制，$z_t$是观测
Algorithm Bayes_filter $(bel(x_{t-1}),u_t,z_t)$:
for all $x_t$ do
$\overline {bel}(x_t)=\sum_{x_{t-1}} p(x_t|u_t,x_{t-1})bel(x_{t-1})$
${bel}(x_t)=\eta \ p(z_t|x_t) \ \overline{bel}(x_t)$
endfor
return $bel(x_t)$
Exercises
1.
机器人雷达测量范围为0~3m，平均分布。当传感器坏时（faulty），雷达输出为小于1m。雷达坏掉的先验概率为$p=0.01$。机器人获取雷达数据N次，每次测量结果都小于1，则雷达坏掉的后验概率为？
已知 $ P(X=faulty)=p=0.01, P(X=good)=1-p=0.99 $
因为 $ P(X=faulty|Z_{1:n})=\eta_1 P(Z_n|X=faulty,Z_{1:n-1}) P(X=faulty|Z_{1:n-1})=\eta_1 \times 1 \times P(X=faulty|Z_{1:n-1}) $
所以 $ P(X=faulty|Z_{1:n})=\eta_1 P(X=faulty|Z_{1:n-1})=\eta_2 P(X=faulty|Z_{1:n-2})=\cdots=\eta_n P(X=faulty|Z_0)=\eta_n P(X=faulty)=\eta_n p $
因为 $ P(X=good|Z_{1:n})=\eta_1 P(Z_n|X=good,Z_{1:n-1}) P(X=good|Z_{1:n-1})=\eta_1 \times \frac{1}{3} \times P(X=good|Z_{1:n-1}) $
所以 $ P(X=good|Z_{1:n})=\eta_1 \frac{1}{3} P(X=good|Z_{1:n-1})=\eta_2 \frac{1}{3^2} P(X=good|Z_{1:n-2})=\cdots=\eta_n \frac{1}{3^n} P(X=good|Z_0)=\eta_n \frac{1}{3^n} P(X=good)=\eta_n \frac{1}{3^n} (1-p) $
因为 $ \eta_n p+\eta_n \frac{1}{3^n} (1-p)=1 $
所以 $ \eta=\frac{1}{p+\frac{1}{3^n}(1-p)} $
所以 $ P(X=faulty|Z_{1:n})=\eta_n p=\frac{p}{p+\frac{1}{3^n}(1-p)}=\frac{0.01}{0.01+\frac{1}{3^n}\times 0.99} $
所以
$ n=1,P(X=faulty|Z_1)=0.0294118; n=2,P(X=faulty|Z_{1:2})=0.0833333; $
$ n=3,P(X=faulty|Z_{1:3})=0.214286; n=4,P(X=faulty|Z_{1:4})=0.45; $
$ n=5,P(X=faulty|Z_{1:5})=0.710526; n=6,P(X=faulty|Z_{1:6})=0.880435; $
$ n=7,P(X=faulty|Z_{1:7})=0.956693; n=8,P(X=faulty|Z_{1:8})=0.956693; $
$ n=9,P(X=faulty|Z_{1:9})=0.994995; n=10,P(X=faulty|Z_{1:10})=0.998326; $
